Petite étude mathématique sur les prix actuels du pétrole

Publié le par Jean-Claude Caty

 

Intéressé par l'évolution des cours du pétrole, j'ai voulu analyser mathématiquement cette évolution.Cette analyse n'a probablement pas de pertinence économique et n'est que théorique.Avant de voir les résultats, nous allons d'abord voir les principes mathématiques.Nous appliquerons ensuite l'analyse à un échantillon de données entre le 19 janvier et le 12 novembre 2007.Pour terminer, nous déduirons des prévisions pour les mois qui viennent.Lorsque les véritables chiffres seront connus, nous pourrons alors déduire la pertinence de cette analyse.

Principes mathématiques (méthode des moindres carrés)
 
Courbe.gif

En observant les prix du baril sur la période étudiée, nous pouvons considérer que les prix suivent une progression. Certains considérerons cette progression comme sensiblement linéaire. Dans un tel cas, nous pouvons chercher la droite qui représente le mieux cette progression. Cependant, une observation plus attentive montre une progression plus forte ces derniers temps. Aussi, pouvons nous chercher une autre courbe que la droite et prendre une parabole. Quelque soit la courbe choisie (nous en prendrons 3 dans notre analyse), nous cherchons la courbe qui soit le plus proche (autrement dit la plus probable) du jeu de données.

Prenons le cas d'un ajustement linéaire. La courbe théorique est donc une équation du type y=ax+b où :
y est le prix du baril, x est la date, a et b des coefficients à déterminer de manière à coller au mieux. Pour déterminer les coefficients a et b, nous mettons en évidence un prix réel et un prix calculé à partir de l'équation. La différence entre le prix réel et le prix calculé est appelé résidu. Pour chaque prix x, ce résidu est égal à y-ax-b. La méthode consiste à minimiser la somme des carrés des résidus (d'où le nom de la méthode : moindres carrés). La solution au problème est la plus probable et permet la détermination des paramètres de la droite cherchée.
 
Un ajustement à une autre courbe comme une parabole repose sur le même principe. la différence est la courbe qui a pour équation y=ax²+bx+c. Nous cherchons alors les paramètres de la parabole soit les coefficients a, b et c. Nous ajouterons également une troisième courbe à notre analyse : une parabole cubique d'équation y=a³+bx²+cx+d. Enfin, nous pouvons estimer quelle courbe est la plus pertinente par rapport au jeu de données. Nous disposons pour cela d'un indicateur statistique : l'écart-type. Cet indicateur est toujours positif et plus sa valeur est petite, plus les valeurs absolus des résidus sont également petits.


Limite


Il reste que la pertinence des 3 courbes choisies ne l'est pas lorsque nous extrapolerons les résultats. Elle n'est limitée qu'à la période du jeu de données, laquelle période est de surcroit très courte. De plus, la meilleure courbe serait celle d'une loi régissant le prix à la date. Je lance un appel aux lecteurs qui connaîtraient une telle loi de me la faire connaître.


Ajustement linéaire
 CourbeL.gif



L'ajustement linéaire donne a=0,11 b=53,24.
L'écart-type de cet ajustement est de 3,69$
L'écart minimum est de -11,52$ (7 novembre)
L'écart maximum est de 8,20$ (23 août)


Ajustement parabolique
 CourbeP.gif



L'ajustement parabolique donne a=0,0003 b=0,0174 c=57.86.
L'écart-type de cet ajustement est de 2,96$
L'écart minimum est de -8,33$ (13 avril)
L'écart maximum est de 7,29$ (19 janvier)

Cet ajustement parabolique est meilleur que l'ajustement linéaire. Il colle mieux aux données ce qui est corroboré par un écart-type et des valeurs extrêmes plus faibles.



Ajustement cubique


CourbeC.gif
 

L'ajustement cubique donne a=0,000003 b=-0,0011 c=0.185 d=53,87
L'écart-type de cet ajustement est de 2,44$
L'écart minimum est de -6,45$ (13 avril)
L'écart maximum est de 5,85$ (9 octobre)



Ce troisième ajustement est meilleur que les précédents. Il colle mieux aux données ce qui est corroboré par un écart-type et des valeurs extrêmes toujours plus faibles.


Ajustements
 CourbeS.gif



Voici les graphes comparés des 3 courbes. Nous pouvons constater visuellement les résultats obtenus par calcul.


Extrapolations


Nous allons maintenant extrapoler les résultats. Attention toutefois à ne pas déduire de jugements hâtifs. Comme cela fut dit plus haut, les 3 courbes ne correspondent probablement à aucune réalité économique. De surcroît, l'extrapolation est réalisée à partir d'une courte période ce qui n'est pas bon. C'est aussi la raison qui nous conduira à ne pas dépasser le 15 mai 2008 (ce qui est déjà bien audacieux).
 Projections.gif



Date                 Linéaire      Parabolique        Cubique


01/12/2007     89,29$         95,69$                  103,49$
15/12/2007     90,89$         98,86$                  110,21$
01/01/2008     92,83$       102,88$                  119,48$
15/01/2008     94,43$       106,33$                  128,09$
01/02/2008     96,37$       110,70$                  139,81$
15/02/2008     97,97$       114,43$                  150,57$
01/03/2008     99,68$       118,57$                  163,27$
15/03/2008   101,27$       122,57$                  176,27$
01/04/2008   103,21$       127,59$                  193,64$
15/04/2008   104,81$       131,46$                  209,29$
01/05/2008   106,64$       136,16$                  228,76$
15/05/2008   108,23$       141,99$                  247,24$

 



Une intuition personnelle me pousse à penser que l'ajustement parabolique se révèlera plus proche de la réalité. L'ajustement linéaire ne tient pas compte de l'emballement récent, l'ajustement cubique ayant tendance à s'emballer de manière excessive.

A suivre ...

Jean-Claude Caty

Publié dans les prix du pétrole

Commenter cet article

gio 27/11/2008 16:07

27 Nov 08 :
elles donnent quoi aujourd'hui les estimations cubiques/paraboliques/etc sur le prix du pétrole ?

Didier Barthès 25/05/2008 18:02

le 25 mai 2008votre extrapolation n'avait que des bases mathématiques et pourtant elle se révele très exacte, nous sommes à 135 $ là ou vous prévoyez 140 ! chapeau ! si les économistes pouvaient se montrer aussi précis !

Basila 22/05/2008 15:02

Un petit dossier sur le pétrole : http://futura24.site.voila.fr/petrole/petrole.htm dont l'un des articles décrit l'évolution du prix du pétrole au cours des vingt dernières années.Le plus intéressant, c'est que cette étude ne se limite pas au dollar, mais tiens aussi compte de l'euro. pour les deux monnaies, la valeur courante est complétée par la valeur en monnaie 2008 pour corriger les effets de l'inflation. Cela donne une vision plus réaliste de l'évolution, comme c'est le cas aussi pour le calcul en SMIC horaire.
 

Charles Leveau 21/05/2008 17:50

21 mai: record à 130 $Pas mal l'estimation parabolique!

Didier 12/03/2008 16:53

Aujourd'hui, 12/03/2008 (et hier), on a frôlé les 110 $.Si on compare aux prévisions, on se retrouve au milieu des modèles linéaire et parabolique.Prévisions au 15/03/2008 :Linéaire : 101.27 $Parabolique : 122.57 $